Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier

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Cours en ligne depuis le : 19/11/08
Catégorie : Cryptographie
Auteur(s) : Christine Bachoc

Ce cours développe les aspects algébriques et discrets de la tranformée de Fourier.
Il vous permettra d'approfondir par des applications les groupes commutatifs, et non commutatifs.

Sommaire :

Introduction
Rappels de théorie des groupes

Groupe, ordre d’un élément, ordre d’un groupe, théorème de Lagrange
Groupes cycliques
Homomorphismes, quotients
Groupes abéliens ﬁnis

Transformée de Fourier sur un groupe ﬁni

Caractères d’un groupe ﬁni
Dual d’un groupe cyclique
Dual d’un groupe abélien ﬁni; bidual
L’algèbre de groupe C[G]
Transformée de Fourier
Produit de convolution
Formule de Poisson
Transformée de Walsh et fonctions booléennes
Transformée de Walsh
Transformée de Walsh rapide
Fonctions booléennes

Transformée de Fourier discrète

Déﬁnition
Transformée de Fourier rapide (FFT)
Produit de convolution
Application au calcul du produit de deux polynômes de C[x]

DFT sur un anneau
    L’anneau A contient une racine primitive N-ième de l’unité
    L’anneau A est quelconque
    Le produit d’entiers
La loi de réciprocité quadratique
Représentations linéaires des groupes ﬁnis

Les représentations linéaires d’un groupe ﬁni G
Les caractères d’un groupe ﬁni G

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